题目内容

【题目】综合题
(1)【阅读发现】如图①,在△ABC中,∠ACB=45°,AD⊥BC于点D,E为AD上一点,且DE=BD,可知AB=CE.

(2)【类比探究】如图②,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AG⊥BE于点G,交BD于点F.判断AF与BE的数量关系,并加以证明.

(3)【推广应用】在图②中,若AB=4,BF= ,则△AGE的面积为

【答案】
(1)

解:∵AD⊥BC,∠ACB=45°,

∴∠ADB=∠CDE=90°,△ACD是等腰直角三角形,

∴AD=CD,

在△ABD和△CED中,

∴△ABD≌△CED(SAS),

∴AB=CE;


(2)

解:AF=BE;理由如下:

∵正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠BAD=90°,∠ABF=∠BCE=45°,AC⊥BD,OA=OB=OC,

∵AG⊥BE,

∴∠FAD+∠AFO=90°,

∵AG⊥BE,

∴∠FAO+∠AEG=90°,

∴∠AFO=∠AEG,

∵∠AFB=∠FAO+90°,

∴∠AFB=∠BEC,

在△ABF和△BCE中,

∴△ABF≌△BCE(AAS),

∴AF=BE;


(3)
【解析】【推广应用】解:∵AB=AD=4,∠BAD=90°,
∴BD= =4
∴OA=OB=OC= BD=2
∵BF=
∴OF=OB﹣BF=
∴AF= =
由角的互余性质得:∠OAF=∠OBE,
在△OBE和△OAF中,
∴△OBE≌△OAF(ASA),
∴OE=OE=
∴AE=OA+OE=3
∵∠OAF=∠GAE,∠AOF=∠AGE=90°,
∴△AOF∽△AGE,
,即
解得:GE= ,AG=
∴△AGE的面积= AGGE= × × =
所以答案是:
【考点精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本题的根本,需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2

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