Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．

（1）当△ABD的面积为4时，
①求点D的坐标；
②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO=∠BOD，求点M的坐标；
（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），

∴A（﹣2，0），4a+4=0，

∴a=﹣1，AB=4，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4，

①设D（m，﹣m2+4），

∵△ABD的面积为4，

∴4= ×4（﹣m2+4）

∴m=± ，

∵点D在第一象限，

∴m= ，

∴D（ ，2），

②如图1，点M在OD上方时，

∵∠MDO=∠BOD，∴DM∥AB，

∴M（﹣ ，2），当M在OD下方时，

设DM交x轴于G，设G（n，0），

∴OG=n，

∵D（ ，2），

∴DG= ，

∵∠MDO=∠BOD，

∴OG=DG，

∴ ，

∴n= ，

∴G（ ，0），

∵D（ ，2），

∴直线DG的解析式为y=﹣2 x+6①，

∵抛物线的解析式为y=﹣x2+4②，

联立①②得，x= ，y=2，此时交点刚好是D点，

所以在OD下方不存在点M

（2）

解：OE+OF的值不发生变化，

理由：如图2，过点D作DH⊥AB于H，

∴OF∥DH，

∴ ，

设D（b，﹣b2+4），

∴AH=b+2，DH=﹣b2+4，

∵OA=2，

∴ ，

∴OF= ，

同理：OE=2（2+b），

∴OE+OF=2（2﹣b）+2（2+b）=8．

【解析】（1）先确定出抛物线解析式，①设出点D坐标，用三角形ABD的面积建立方程即可得出点D坐标；②分点M在OD上方，利用内错角相等，两直线平行，即可得出点M的纵坐标，即可得出M的坐标，带你M在OD下方时，求出直线DG的解析式，和抛物线解析式联立求出直线和抛物线的交点即可判断不存在；（2）设出点D的坐标，利用平行线分线段成比例定理表示出OE，OF求和即可得出结论．