Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：① = ；②若点D是AB的中点，则AF= AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若 = ，则S△ABC=9S△BDF ， 其中正确的结论序号是（ ）

A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：依题意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，
∴ ，
又AB=BC，∴ ．
故结论①正确；
如右图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，
∴AG=AD；
在△AFG与△AFD中， ，
∴△AFG≌△AFD（SAS）
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC= AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD= AB= BC；
∵△AFG∽△BFC，∴ = ，∴FC=2AF，
∴AF= AC= AB．
故结论②正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，
∴∠2=∠ACB
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠2=45°，
∴∠CFD=∠AFD=90°，
∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，
∵BG⊥CD，
∴ ，
∴DF=DB，故③正确；
∵ ，∵AG=BD， ，
∴ ，∴ = ，∴AF= AC，∴S△ABF= S△ABC；∴S△BDF= S△ABF ，
∴S△BDF= S△ABC ， 即S△ABC=12S△BDF ．
故结论④错误．
故选C．

【考点精析】关于本题考查的解直角三角形，需要了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能得出正确答案．