Question

【题目】如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA= ，AN=2 ，求圆O的直径的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示．

∵ME与⊙O相切，

∴OF⊥ME．

∵CD⊥AB，

∴∠M+∠FOH=180°．

∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，

∴∠M=2∠OAF．

∵ME∥AC，

∴∠M=∠C=2∠OAF．

∵CD⊥AB，

∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，

∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，

∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，

∴CA=CN．

（2）连接OC，如图2所示．

∵cos∠DFA= ，∠DFA=∠ACH，

∴ = ．

设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，

∵CA=CN，

∴NH=a，

∴AN= = = a=2 ，

∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．

设圆的半径为r，则OH=r﹣6，

在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，

∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，

解得：r= ，

∴圆O的直径的长度为2r= ．

【解析】（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA= 、AN=2 ，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和圆周角定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．