题目内容
【题目】如图,已知AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N.
(1)求证:CA=CN;
(2)连接DF,若cos∠DFA= ,AN=2
,求圆O的直径的长度.
【答案】
(1)证明:连接OF,则∠OAF=∠OFA,如图所示.
∵ME与⊙O相切,
∴OF⊥ME.
∵CD⊥AB,
∴∠M+∠FOH=180°.
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF,∠FOH+∠BOF=180°,
∴∠M=2∠OAF.
∵ME∥AC,
∴∠M=∠C=2∠OAF.
∵CD⊥AB,
∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°,
∴∠ANC=90°﹣∠OAF,∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF,
∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC,
∴CA=CN.
(2)连接OC,如图2所示.
∵cos∠DFA= ,∠DFA=∠ACH,
∴ =
.
设CH=4a,则AC=5a,AH=3a,
∵CA=CN,
∴NH=a,
∴AN= =
=
a=2
,
∴a=2,AH=3a=6,CH=4a=8.
设圆的半径为r,则OH=r﹣6,
在Rt△OCH中,OC=r,CH=8,OH=r﹣6,
∴OC2=CH2+OH2,r2=82+(r﹣6)2,
解得:r= ,
∴圆O的直径的长度为2r= .
【解析】(1)连接OF,根据切线的性质结合四边形内角和为360°,即可得出∠M+∠FOH=180°,由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF,再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC,由此即可证出CA=CN;(2)连接OC,由圆周角定理结合cos∠DFA= 、AN=2
,即可求出CH、AH的长度,设圆的半径为r,则OH=r﹣6,根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程,解之即可得出r,再乘以2即可求出圆O直径的长度.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用勾股定理的概念和圆周角定理的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

【题目】为了解高邮市6000名九年级学生英语口语考试成绩的情况,从中随机抽取了部分学生的成绩(满分30分,得分均为整数),制成下表:
分数段(x分) | x≤10 | 11≤x≤15 | 16≤x≤20 | 21≤x≤25 | 26≤x≤30 |
人 数 | 10 | 15 | 35 | 112 | 128 |
(1)本次抽样调查共抽取了名学生;
(2)若用扇形统计图表示统计结果,则分数段为x≤10的人数所对应扇形的圆心角为°;
(3)学生英语口语考试成绩的众数落在11≤x≤15的分数段内;(填“会”或“不会”)
(4)若将26分以上(含26)定为优秀,请估计该区九年级考生成绩为优秀的人数.
【题目】用A4纸复印文件,在甲复印店不管一次复印多少页,每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件,一次复印页数不超过20时,每页收费0.12元;一次复印页数超过20时,超过部分每页收费0.09元. 设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数).
(1)根据题意,填写下表:
一次复印页数(页) | 5 | 10 | 20 | 30 | … |
甲复印店收费(元) | 0.5 | 2 | … | ||
乙复印店收费(元) | 0.6 | 2.4 | … |
(2)设在甲复印店复印收费y1元,在乙复印店复印收费y2元,分别写出y1 , y2关于x的函数关系式;
(3)当x>70时,顾客在哪家复印店复印花费少?请说明理由.