Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），点B在x轴的正半轴上，点M在y轴的负半轴上，且|AB|=6，cos∠OBM=

5

5

，点C是M关于x轴的对称点．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的函数表达式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E，在线段OB的垂直平分线上求一点P，使点P到直线CD的距离等于点P到原点的O距离；
（3）在直线CD上方（1）中的抛物线（不包括C、D）上是否存在点N，使四边形NCOD的面积最大？若存在，求出点N的坐标及该四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）易知A（-2，0），B（4，0），C（0，8）．
设抛物线的函数表达式为y=a（x+2）（x-4）．
将C（0，8）代入，得a=-1．
∴过A、B、C三点的抛物线的函数表达式为：y=-x²+2x+8．
y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴顶点为D（1，9）．

（2）如图1，假设存在满足条件的点P，依题意，设P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）得直线CD的函数表达式为：y=x+8．
设直线CD交x轴于点E，则E（-8，0）．
∴CO=8=OE，∴∠DEO=45°．
设OB的中垂线交CD于H，交x轴于点G．
∴在Rt△HPF中，∠FHP=45°=∠HPF．
点P到CD的距离PF=

2

2

|10-t|．
又PO=

t2+22

=

t2+4

．
∵PF=PO，
∴

t2+4

=

2

2

|10-t|．
化简，得t²+20t-92=0，
解得t=-10±8

3

．
∴存在点P₁（2，-10+8

3

），P₂（2，-10-8

3

）满足条件．

（3）如图2，过点N作直线NQ∥x轴交CD于点Q．设N（k，-k²+2k+8）．
∵直线CD的函数表达式为y=x+8，
∴Q（-k²+2k，-k²+2k+8）．
∴QN=|-k²+2k-k|=-k²+k．
S_△CND=S_△NQD+S_△NQC
=

1

2

NQ•|y_D-y_Q|+

1

2

NQ•|y_Q-y_C|
=

1

2

（-k²+k）•|9-（-k²+2k+8）|+

1

2

（-k²+k）•|-k²+2k+8-8|
=

1

2

（-k²+k）（9+k²-2k-8-k²+2k）
=

1

2

（-k²+k）．
而S_{四边形NCOD}=S_△CND+S_△COD
=

1

2

（-k²+k）+

1

2

CO•|x_D|
=

1

2

（-k²+k）+

1

2

× 8×1
=-

1

2

k²+

1

2

k+4
=-

1

2

（k-

1

2

）²+

33

8

．
∴当k=

1

2

时，四边形面积的最大为

33

8

，
此时N（k，-k²+2k+8）点坐标为：（

1

2

，

35

4

）．