题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0),点B在x轴的正半轴上,

点M在y轴的负半轴上,且|AB|=6,cos∠OBM=
,点C是M关于x轴的对称点.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的函数表达式及其顶点D的坐标;
(2)设直线CD交x轴于点E,在线段OB的垂直平分线上求一点P,使点P到直线CD的距离等于点P到原点的O距离;
(3)在直线CD上方(1)中的抛物线(不包括C、D)上是否存在点N,使四边形NCOD的面积最大?若存在,求出点N的坐标及该四边形面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)易知A(-2,0),B(4,0),C(0,8).
设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-4).
将C(0,8)代入,得a=-1.
∴过A、B、C三点的抛物线的函数表达式为:y=-x
2+2x+8.
y=-x
2+2x+8=-(x-1)
2+9,
∴顶点为D(1,9).
(2)如图1,假设存在满足条件的点P,依题意,设P(2,t).
由C(0,8),D(1,9)得直线CD的函数表达式为:y=x+8.
设直线CD交x轴于点E,则E(-8,0).
∴CO=8=OE,∴∠DEO=45°.
设OB的中垂线交CD于H,交x轴于点G.
∴在Rt△HPF中,∠FHP=45°=∠HPF.
点P到CD的距离PF=
|10-t|.
又PO=
=
.
∵PF=PO,
∴
=
|10-t|.
化简,得t
2+20t-92=0,
解得t=-10±
8.
∴存在点P
1(2,-10+
8),P
2(2,-10-
8)满足条件.
(3)如图2,过点N作直线NQ
∥x轴交CD于点Q.设N(k,-k
2+2k+8).
∵直线CD的函数表达式为y=x+8,
∴Q(-k
2+2k,-k
2+2k+8).
∴QN=|-k
2+2k-k|=-k
2+k.
S
△CND=S
△NQD+S
△NQC
=
NQ•|y
D-y
Q|+
NQ•|y
Q-y
C|
=
(-k
2+k)•|9-(-k
2+2k+8)|+
(-k
2+k)•|-k
2+2k+8-8|
=
(-k
2+k)(9+k
2-2k-8-k
2+2k)
=
(-k
2+k).
而S
四边形NCOD=S
△CND+S
△COD=
(-k
2+k)+
CO•|x
D|
=
(-k
2+k)+
× 8×1
=-
k
2+
k+4
=-
(k-
)
2+
.
∴当k=
时,四边形面积的最大为
,
此时N(k,-k
2+2k+8)点坐标为:(
,
).

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