题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），点B在x轴的正半轴上，点M在y轴的负半轴上，且|AB|=6，cos∠OBM=
5
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，点C是M关于x轴的对称点．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的函数表达式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E，在线段OB的垂直平分线上求一点P，使点P到直线CD的距离等于点P到原点的O距离；
（3）在直线CD上方（1）中的抛物线（不包括C、D）上是否存在点N，使四边形NCOD的面积最大？若存在，求出点N的坐标及该四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（1）易知A（-2，0），B（4，0），C（0，8）．
设抛物线的函数表达式为y=a（x+2）（x-4）．
将C（0，8）代入，得a=-1．
∴过A、B、C三点的抛物线的函数表达式为：y=-x2+2x+8．
y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，
∴顶点为D（1，9）．

（2）如图1，假设存在满足条件的点P，依题意，设P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）得直线CD的函数表达式为：y=x+8．
设直线CD交x轴于点E，则E（-8，0）．
∴CO=8=OE，∴∠DEO=45°．
设OB的中垂线交CD于H，交x轴于点G．
∴在Rt△HPF中，∠FHP=45°=∠HPF．
点P到CD的距离PF=
2
2
|10-t|．
又PO=
t2+22
=
t2+4
．
∵PF=PO，
∴
t2+4
=
2
2
|10-t|．
化简，得t2+20t-92=0，
解得t=-10±8
3
．
∴存在点P1（2，-10+8
3
），P2（2，-10-8
3
）满足条件．

（3）如图2，过点N作直线NQ∥x轴交CD于点Q．设N（k，-k2+2k+8）．
∵直线CD的函数表达式为y=x+8，
∴Q（-k2+2k，-k2+2k+8）．
∴QN=|-k2+2k-k|=-k2+k．
S△CND=S△NQD+S△NQC
=
1
2
NQ•|yD-yQ|+
1
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NQ•|yQ-yC|
=
1
2
（-k2+k）•|9-（-k2+2k+8）|+
1
2
（-k2+k）•|-k2+2k+8-8|
=
1
2
（-k2+k）（9+k2-2k-8-k2+2k）
=
1
2
（-k2+k）．
而S四边形NCOD=S△CND+S△COD
=
1
2
（-k2+k）+
1
2
CO•|xD|
=
1
2
（-k2+k）+
1
2
× 8×1
=-
1
2
k2+
1
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k+4
=-
1
2
（k-
1
2
）2+
33
8
．
∴当k=
1
2
时，四边形面积的最大为
33
8
，
此时N（k，-k2+2k+8）点坐标为：（
1
2
，
35
4
）．
练习册系列答案
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如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（-9，0）
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（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S△PAM：S△CEF=
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：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
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x2+
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x+
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米，设他扣球的起跳点A的横坐标为k，因球的高度高于他扣球的最大高度而导致扣球失败，则k的取值范围是______．
已知二次函数y=x2-2（k+1）x+4k的图象与x轴分别交于点A（x1，0）、B（x2，0），且-
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＜x1＜-
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．
（1）求k的取值范围；
（2）设二次函数y=x2-2（k+1）x+4k的图象与y轴交于点M，若OM=OB，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若点N是x轴上的一点，以N、A、M为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数y=x2-2（k+1）x+4k的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积．
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（1）求c的值；
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