Question

已知二次函数y=x²-2（k+1）x+4k的图象与x轴分别交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且-

3

2

＜x₁＜-

1

2

．
（1）求k的取值范围；
（2）设二次函数y=x²-2（k+1）x+4k的图象与y轴交于点M，若OM=OB，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若点N是x轴上的一点，以N、A、M为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数y=x²-2（k+1）x+4k的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积．

Answer 1

（1）令y=0，则x²-2（k+1）x+4k=0，即（x-2k）（x-2）=0，
解方程得：x=2k或x=2，则A（2k，0），B（2，0）．
由题意得，-

3

2

＜2k＜-

1

2

，
故可得：-

3

4

＜k＜-

1

4

．

（2）∵OM=OB，B的坐标为：（2，0），
∴M点坐标为：（0，-2），
把点M的坐标分别代入y=x²-2（k+1）x+4k中，可得：4k=-2，
解得：k=-

1

2

，
故二次函数表达式为：y=x²-x-2．

（3）由（2）知k=-

1

2

，则A（-1，0）．
①如图1，当AM为边时，AN=MF，且AN∥MF．
由（2）知，二次函数表达式为：y=x²-x-2．
∵M点坐标为：（0，-2），
∴当y=-2时，-2=x²-x-2，解得x=1或x=0，
∴点F的坐标为（1，-2）或（0，-2）（与点M重合，舍去），
∴AN=MF=1，
此时S_?AMFN=AN•NM=1×2=2；
②如图2，当AM为对角线时，同理证得AN=MF=1，
此时S_?AMFN=AN•NM=1×2=2；
③如图3，当AM为边时，AE=EN，ME=FE．
设F（a，b），N（t，0），
则

a 2 = t-1 2 b-2 2 =0 b=a2-a-2

，
解得，

a= 1+ 17 2 b=2 t= 3+ 17 2

或

a= 1- 17 2 b=2 t= 3- 17 2

，
此时，S_?AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2×

3+ 17

2

+2=5+

17

，或S_?AMFN=AN•OM=（t+1）×2=2×

3- 17

2

+2=5-

17

；
综上所述，符合条件的平行四边形的面积是：2，5+

17

或5-

17

．