Question

如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

Answer 1

（1）先根据等边三角形的性质得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，即可得到∠ACD=∠BCE，从而可以证得结论；（2）6

试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，即可得到∠ACD=∠BCE，从而可以证得结论；
（2）过点C作CH⊥BQ于H，根据等边三角形及角平分线的性质可得∠DAC=30°，再根据△ACD≌△BCE可得∠QBC=∠DAC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得CH的长，最后根据勾股定理求解即可.
（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）过点C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，
∴∠DAC=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠QBC=∠DAC=30°，
∴CH=BC=×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，
∴PH=QH=3，
∴PQ=6．
点评：本题知识点多，综合性较强，但难度不大，是中考常见题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.