题目内容
【题目】如图,在正方形ABCD中,E,F分别BC,CD边上的一点,且BE=2EC,FC=DC,连接AE,AF,EF,求证:△AEF是直角三角形.
【答案】见解析.
【解析】
设FC=2a,由正方形的性质得出AB=BC=AD=CD=9a,,然后利用勾股定理分别表示出,然后根据勾股定理的逆定理即可证明结论.
证明:设FC=2a,则DC=9a,DF=7a.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=AD=CD=9a, .
∵BE=2CE,
∴BE=6a,EC=3a.
在Rt△ECF中,EF2=EC2+FC2=(3a)2+(2a)2=13a2.
在Rt△ADF中,AF2=AD2+DF2=(9a)2+(7a)2=130a2.
在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2=(9a)2+(6a)2=117a2.
∵13a2+117a2=130a2,
∴EF2+AE2=AF2.
∴△AEF是以∠AEF为直角的直角三角形.
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