Question

如图，直线y=kx+4与函数y=

m

x

（x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．
（1）若△COD的面积是△AOB的面积的

2

倍，求k与m之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂，y₁＞y₂），
∵S_△COD=

2

S_△AOB，
∴S_△COD=

2

（S_△AOD-S_△BOD）
∴

1

2

•OC•OD=

2

（

1

2

•OD•y₁-

1

2

•OD•y₂），OC=

2

（y₁-y₂），（2分）
又OC=4，
∴（y₁-y₂）²=8，即（y₁+y₂）²-4y₁y₂=8，（3分）
由y=

m

x

可得x=

m

y

，代入y=kx+4可得：y²-4y-km=0①
∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=-km，
∴16+4km=8，即k=-

2

m

又方程①的判别式△=16+4km=8＞0，
∴所求的函数关系式为k=-

2

m

（m＞0）；（5分）

（2）假设存在k，m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）
则AP⊥BP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N
∵∠MAP与∠BPN都与∠APM互余，
∴∠MAP=∠BPN（6分）
∴Rt△MAP∽Rt△NPB，
∴

AM

PN

=

MP

NB

∴

y1

x2-2

=

2-x1

y2

，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴(

m

y1

-2)(

m

y2

-2)+y1y2=0，
即m²-2m（y₁+y₂）+4y₁y₂+（y₁y₂）²=0②（8分）
由（1）知：y₁+y₂=4，y₁•y₂=2，代入②得：m²-8m+12=0，
∴m=2或6，又k=-

2

m

，
∴

m=2 k=-1

或

m=6 k=- 1 3

，
∴存在k，m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0），且

m=2 k=-1

或

m=6 k=- 1 3

．（10分）