题目内容
已知：如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB+CD=BC，M是AD的中点．
求证：BM⊥CM．
求证：BM⊥CM．
如图所示，延长BM交CD的延长线于点E．
∵AB∥CD，
∴∠A=∠MDE（两直线平行，内错角相等）．
在△ABM和△DEM中，
∵∠A=∠MDE，AM=DM，∠AMB=∠DME，
∴△ABM≌△DEM（ASA）．
∴BM=EM，AB=DE（全等三角形的对应边相等）．
∵AB+CD=BC，
∴DE+DC=BC，即CE=CB．
又∵BM=ME，
∴CM⊥BM（三线合一）．
∵AB∥CD，
∴∠A=∠MDE（两直线平行，内错角相等）．
在△ABM和△DEM中，
∵∠A=∠MDE，AM=DM，∠AMB=∠DME，
∴△ABM≌△DEM（ASA）．
∴BM=EM，AB=DE（全等三角形的对应边相等）．
∵AB+CD=BC，
∴DE+DC=BC，即CE=CB．
又∵BM=ME，
∴CM⊥BM（三线合一）．
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