题目内容

如图,已知直线y=x与抛物线交于A、B两点.

(1)求交点A、B的坐标;
(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围;
(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.

(1)A(0,0),B(2,2)。
(2)0<x<2。
(3)符号条件的点P有4个,
其中P1),P2),P3(﹣2,2)。

解析试题分析:(1)根据题意可以列出关于x、y的方程组,通过解方程组可以求得点A、B的坐标。
(2)根据函数图象可以直接回答问题;
(3)需要分类讨论:以AB为腰和以AB为底的等腰三角形。
解:(1)如图,∵直线y=x与抛物线交于A、B两点,
,解得,
∴A(0,0),B(2,2)。
(2)由(1)知,A(0,0),B(2,2).
∵一次函数y=x的函数值为y1,二次函数的函数值为y2
∴当y1>y2时,根据图象可知x的取值范围是:0<x<2。
(3)该抛物线上存在4个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形。理由如下:
∵A(0,0),B(2,2),∴B=
根据题意,可设P(x,),
①当PA=PB时,点P是线段AB的中垂线与抛物线的交点,

易求线段AB的中垂线的解析式为y=﹣x+2,

解得,
∴P1),P2)。
②当PA=AB时,根据抛物线的对称性知,点P与点B关于y轴对称,即P3(﹣2,2)。
③当AB=PB时,点P4的位置如图所示。
综上所述,符号条件的点P有4个,
其中P1),P2),P3(﹣2,2)。

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