题目内容

如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(,0)和点B(1,),与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE.
①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;
②点F是OB的中点,点M是直线BD的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=∠MFO时,请直接写出线段BM的长.

(1)
(2)D(4,)。
(3)①四边形OAEB是平行四边形。理由如见解析
②线段BM的长为

解析试题分析:(1)根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,利用待定系数法求出抛物线的函数表达式。
(2)由∠BDA=∠DAC,可知BD∥x轴,点B与点D纵坐标相同,解一元二次方程求出点D的坐标。
(3)①由BE与OA平行且相等,可判定四边形OAEB为平行四边形。
②点M在点B的左右两侧均有可能,需要分类讨论:
∵O(0,0),B(1,),F为OB的中点,∴F()。
过点F作FN⊥直线BD于点N,则FN==,BN=1﹣=
在Rt△BNF中,由勾股定理得:
∵∠BMF=∠MFO,∠MFO=∠FBM+∠BMF,∴∠FBM=2∠BMF。
(I)当点M位于点B右侧时.
在直线BD上点B左侧取一点G,使BG=BF=,连接FG,则GN=BG﹣BN=1,
在Rt△FNG中,由勾股定理得:

∵BG=BF,∴∠BGF=∠BFG。
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF,
∴∠BFG=∠BMF。
又∵∠MGF=∠MGF,∴△GFB∽△GMF。
,即
∴BM=
(II)当点M位于点B左侧时,
设BD与y轴交于点K,连接FK,则FK为Rt△KOB斜边上的中线,
∴KF=OB=FB=。∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF。
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK,∴∠BMF=∠MFK。∴MK=KF=
∴BM=MK+BK=+1=
综上所述,线段BM的长为

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