题目内容

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点M在第一象限,抛物线与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交与点C,O为坐标原点,如果△ABM是直角三角形,AB=2,OM=
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(1)求点M的坐标;
(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC为直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)

∵点M为抛物线的顶点,
∴MA=MB,
又∵△ABM是直角三角形,
∴△AMB是等腰直角三角形,
∵AB=2,
∴ME=1,
在Rt△OME中,可得OE=
OM2-ME2
=2,
故可得点M的坐标为(2,1).
(2)∵AE=BE=
1
2
AB=1,OE=2,
∴OA=1,OB=3,
∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),
将点A、B、M的坐标代入抛物线解析式可得:
a+b+c=0
9a+3b+c=0
4a+2b+c=1

解得:
a=-1
b=4
c=-3

故抛物线的解析式为:y=-x2+4x-3.
(3)设点P的坐标为(2,y),
则AC2=10,AP2=1+y2,CP2=4+(y+3)2
①当∠PAC=90°时,AC2+AP2=CP2,即10+1+y2=4+(y+3)2
解得:y=-
1
3

即此时点P的坐标为(2,-
1
3
);
②当∠PCA=90°时,AC2+CP2=AP2,即10+4+(y+3)2=1+y2
解得:y=-
11
3

即此时点P的坐标为(2,-
11
3
);
③当∠APC=90°时,AP2+CP2=AC2,即1+y2+4+(y+3)2=10,
解得:y=-1或-2,
即此时点P的坐标为(2,-1)或(2,-2);
综上可得点P的坐标为(2,-
1
3
)或(2,-
11
3
)或(2,-1)或(2,-2).
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