题目内容

如图,已知直线y=x与抛物线y=
1
2
x2
交于A、B两点.
(1)求交点A、B的坐标;
(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数y=
1
2
x2
的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围;
(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.
(1)如图,∵直线y=x与抛物线y=
1
2
x2
交于A、B两点,
y=x
y=
1
2
x2

解得,
x=0
y=0
x=2
y=2

∴A(0,0),B(2,2);

(2)由(1)知,A(0,0),B(2,2).
∵一次函数y=x的函数值为y1,二次函数y=
1
2
x2
的函数值为y2
∴当y1>y2时,根据图象可知x的取值范围是:0<x<2;

(3)该抛物线上存在4个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形.理由如下:
∵A(0,0),B(2,2),
∴AB=2
2

根据题意,可设P(x,
1
2
x2).
①当PA=PB时,点P是线段AB的中垂线与抛物线的交点.
易求线段AB的中垂线的解析式为y=-x+2,
y=-x+2
y=
1
2
x2

解得,
x1=-
5
-1
y1=3+
5
x2=
5
-1
y2=3-
5

∴P1(-
5
-1,3+
5
),P2
5
-1,3-
5
);
②当PA=AB时,根据抛物线的对称性知,点P与点B关于y轴对称,即P3(-2,2);
③当AB=PB时,点P4的位置如图所示.
综上所述,符号条件的点P有4个,其中P1(-
5
-1,3+
5
),P2
5
-1,3-
5
),P3(-2,2).
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