Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG,
（1）求证：直线EP为⊙O的切线；
（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG²=BF·BO.试证明BG=PG.
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=.求弦CD的长.

Answer 1

（1）（2）证法见解析；（3）CD=4

试题分析：（1）连接OP,根据切线的判定定理证OP⊥EP即可；（2）连接OG根据相似三角形的判定定理证
△BFG∽△BGO得∠BFG=∠BGO=90°再由垂径定理得BG=PG；（3）由sinB===得OG=∴BG=，由BG²=BF·BO得BF=2，∴OF=1由勾股定理得DF=2再由垂径定理得CD=4
试题解析：

（1）连接OP，∵OP="OB" ∴∠OPB=∠B
∵EP=EG ∴∠EPG=∠EGP 又∵∠EGP=∠BGF
∠BGF+∠B=90°
∴∠OPB+∠EPG=90° OP过圆心，
∴直线EP为⊙O的切线；
∵BG²=BF·BO ∴ 又∵∠GBF=∠OBG
∴△GBF∽△OBG ∴∠GFB=∠OGB=90°
∴OG⊥PB ,  OG过圆心
BG=PG.
在Rt△OGB中，sinB===
∴OG=
由射影定理得：OG²="OF" OB
∴（）²=OF×3    OF=1
在Rt△OFB中  FD=2
∵OF⊥CD  FO过圆心
∴FD=FC ∴CD="2" FD=4