Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC="4" cm ，BC="3" cm，⊙O为△ABC的内切圆.
（1）求⊙O的半径；
（2）点P从点B沿边BA向点A以点1cm/s 的速度匀速运动，以点P为圆心，PB长为半径作圆.设点P运动的时间为 t s.若⊙P与⊙O相切，求t的值.

Answer 1

（1）1 cm；（2）或2.

试题分析：（1）设⊙O与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF，根据切线的性质证明四边形CEOF是正方形，由勾股定理求AB的长，把AD，BD用半径r的代数式表示，从而根据列方程求解即可.
（2）为⊙P与⊙O外切和⊙P与⊙O内切两种情况讨论即可.
试题解析：（1）如图，设⊙O与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF，
则AD=AF，BD=BE，CE=CF.
∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°.
又∵∠C=90°，∴四边形CEOF是矩形.
又∵OE=OF，∴四边形CEOF是正方形.
设⊙O的半径为r cm，则FC="EC=OE=" r cm，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC="4" cm ，BC="3" cm，∴.
∵，
∴，解得r=1.
∴⊙O的半径为1 cm.

（2）如图，过点P作PG⊥BC于点G，
∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC.∴△PBG∽△ABC.∴.
又∵BP=t，∴.
若⊙P与⊙O相切，，则可分为⊙P与⊙O外切和⊙P与⊙O内切两种情况：
①如图，当⊙P与⊙O外切时，连接OP，则OP=1+t.
过点P作PH⊥OE于点H，
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，∴四边形PHEG是矩形.∴HE=PG，PH=GE.
∴.
在Rt△OPH中，由勾股定理，得，解得.

②如图，当⊙P与⊙O内切时，连接OP，则OP=.
过点O作OM⊥PG于点M，
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，∴四边形OEGM是矩形.∴MG=OE，OM=EG.
∴.
在Rt△OPM中，由勾股定理，得，解得.
综上所述，当⊙P与⊙O相切时，或2.