Question

如图，AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O分别与OA、OB的交点D、E恰好是OA、OB的中点，EF切⊙O于点E，交AB于点F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求DF的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）利用等腰三角形的性质以及切线的判定进而得出即可.
（2）利用等腰三角形的性质得出∠FOE=∠B=30°，进而得出FO的长，再利用勾股定理得出DF的长即可．
试题解析：（1）如图，连接CO，
∵AO=BO，CA=CB，∴CO⊥AB.
∵CO为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线.
（2）如图，连接FO，
∵OA=OB，∠A=30°，OC⊥AB，CO=2，∴AO=4，∠B=30°.
∵⊙O分别与OA、OB的交点D、E恰好是OA、OB的中点，EF切⊙O于点E，
∴FE⊥BO，OE="BE=2." ∴FO="FB." ∴∠FOE=∠B=30°.
∴，解得：.
∵∠A=∠B=∠BOF=30°，∴∠AOF=90°.
∴.