Question

如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD＝；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．其中正确结论的序号是       ．

Answer 1

①③⑤.

试题分析：①如图，连接CD，
∵根据轴对称的性质，CE＝CD，∴∠DCE＝∠ECD.
又∵DF⊥DE，∴.∴CD="CF." ∴CE＝CF. 结论①正确.

②∵由①知，EF＝2CD，∴当线段EF最小时，线段CD也最小.
根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小.
∵AB是半圆O 的直径，∴∠ACB＝90°.
∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝.
当CD⊥AD时，，
∴线段EF的最小值为. 结论②错误.
③如图，连接CD，CO，
∵∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°. ∴△AOB是等边三角形，∴AO=4，∠OCA＝60°.
∴当AD＝2时，CD⊥AD，∠OCD＝∠DOA＝30°.
∵根据轴对称的性质，∠EOA＝∠DOA＝30°，∴∠ECO＝90°.
∴EF与半圆相切. 结论③正确.

④若点F恰好落在BC上，则点D，F重合于点B，AD="AB=8." 结论④错误.
⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，为. 结论⑤正确.
综上所述，结论正确的是①③⑤.