题目内容
如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 .
。
由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°,当半径OE最短时,EF最短。如图,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF,垂足为H。
∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,AB=2,
∴AD=BD=2,即此时圆的直径为2。
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°,
∴在Rt△EOH中,EH=OE•sin∠EOH=1×。
由垂径定理可知EF=2EH=。
∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,AB=2,
∴AD=BD=2,即此时圆的直径为2。
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°,
∴在Rt△EOH中,EH=OE•sin∠EOH=1×。
由垂径定理可知EF=2EH=。
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