Question

如图，抛物线y=-

1

2

x²+

1

2

x+6与x轴交于A、B两点，与y轴相交于C点．
（1）求△ABC的面积；
（2）已知E点（0，-3），在第一象限的抛物线上取点D，连接DE，使DE被x轴平分，试判定四边形ACDE的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）根据抛物线的解析式可求得：A（-3，0），B（4，0），C（0，6）
S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×7×6=21．

（2）四边形ACDE是平行四边形，
理由：设DE交x轴于点P．
作DM⊥x轴，DN⊥y轴，M、N是垂足．
在△EPO和△DPM中，

∠POE=∠PMD ∠OPE=∠MPD EP=DP

，
∴△EPO≌△DPM（AAS）．
则DM=EO=3．点D的纵坐标为3．
由于D在抛物线上，则有3=-

1

2

x²+

1

2

x+6，
x=-2（舍去）或x=3．
因此：D（3，3），
AC=

OA2+OC2

=3

5

，ED=

ND2+NE2

=3

5

，
AE=

AO2+OE2

=3

2

，CD=

ND2+NC2

=3

2

，
AC=DE，AE=DC，
∴四边形ACDE是平行四边形．