Question

已知平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=

2 3

3

x²+

3

3

上，过A作AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D，将矩形ABOD沿对角线BD折叠后得A的对应点为A′，重叠部分（阴影）为△BDC．
（1）求证：△BDC是等腰三角形；
（2）如果A点的坐标是（1，m），求△BDC的面积；
（3）在（2）的条件下，求直线BC的解析式，并判断点A′是否落在已知的抛物线上？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：由折叠的性质之：∠ABD=∠DBC，
∵四边形ABOD是矩形
∴AB∥DO
∴∠ABD=∠CDB
∴∠CBD=∠BDC
∴△BDC是等腰三角形．

（2）∵点A（1，m）在y=

2 3

3

x²+

3

3

上，
∴m=

2 3

3

+

3

3

=

3

．
在直角三角形ABD中，AB=

3

，DA=1，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBO=30°，CO=OB•tan∠CBO=

3

3

，
S_△BCD=S_△BDO-S_△BCO=

1

2

OD•OB-

1

2

OB•OC=

3

2

-

1

2

×

3

3

=

3

3

．

（3）设直线BC解析式为：y=ax+b，
∵C（0，

3

3

），B（1，0）；
∴

b= 3 3 a+b=0

，
解得

a=- 3 3 b= 3 3

，
y=-

3 x

3

+

3

3

，
设A′的坐标为（x，y），过A′作A′M⊥x轴于M，
A′M=

1

2

BA′=

1

2

AB=

3

2

，
∴y=

3

2

，
代入y=-

3 x

3

+

3

3

，
得x=-

1

2

，
点A′的坐标是（-

1

2

，

3

2

），
将x=-

1

2

代入y=

2 3

3

x²+

3

3

中
得：y=

3

2

，
∴A′落在此抛物线上．