Question

已知：a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边（a＞b）．二次函数y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²的图象的顶点在x轴上，且sinA、sinB是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两个根．
（1）判断△ABC的形状，关说明理由；
（2）求m的值；
（3）若这个三角形的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）的边长．

Answer 1

（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
将y=（x-2a）x-2b（x-a）+c²化简，整理得：y=x²-2（a+b）x+2ab+c²，
∵此函数图象的顶点在x轴上，
∴

4(2ab+c2)-4(a+b)2

4

=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA，
∴sinA、cosA是关于x的方程（m+5）x²-（2m-5）x+m-8=0的两个根，
∴

sinA+cosA= 2m-5 m+5 sinA•cosA= m-8 m+5

，
又∵sin²A+cos²A=1，
∴（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=1，
∴（

2m-5

m+5

）²-2×

m-8

m+5

=1，
整理，得m²-24m+80=0，
解得m₁=20，m₂=4．
经检验，m₁=20，m₂=4都是原方程的根，
但是，当m₁=20时，sinA+cosA＞0，sinA•cosA＞0，
当m₂=4时，sinA+cosA＞0，sinA•cosA＜0，舍去，
∴m=20；

（3）∵△ABC的外接圆面积为25π，
∴外接圆半径R=5，
∴斜边c=10．
当m=20时，原方程变为25x²-35x+12=0，
解得x₁=

4

5

，x₂=

3

5

，
∴a=8，b=6．
设正方形的边长为x．
图1中，由EF：BC=AF：AC，得x：8=（6-x）：6，
解得x=

24

7

；
图2中，CH=

24

5

，
CK：CH=DG：AB，（

24

5

-x）：

24

5

=x：10，
解得x=

120

37

．
综上可知，△ABC的内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）的边长为

24

7

或

120

37

．