Question

12．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）若∠BAC=70°，求弧BD、弧DF和弧AF的度数．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据圆周角定理可以证得AD垂直且平分BC，然后根据垂直平分线的性质证得AB=AC；
（2）连接OD、OF，利用等腰三角形的性质：等边对等角求得圆心角∠BOD、∠DOF、∠AOF的度数，根据弧的度数等于所对圆心角的度数即可求解．

解答 解：（1）AB=AC．
理由是：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵DC=BD，
∴AB=AC；
（2）连接OD、OF．
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-∠BAC}{2}$=$\frac{180°-70°}{2}$=55°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=55°，
∴∠BOD=180°-∠B-∠ODB=180°-55°-55°=70°，
∴$\widehat{BD}$的度数是70°；
同理，∠AOF=40°，
则∠DOF=180°-∠AOF-∠BOD=180°-40°-70°=70°．
则$\widehat{DF}$的度数是70°，$\widehat{AF}$的度数是40°．

点评 本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应 圆心角的度数的关系是关键．