题目内容
4．如图，直线y=$\frac{4}{3}$x+b分别交y轴、x轴于点A、B，已知点A（0，4），直线y=mx+n过点A交x轴正半轴于点C，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿射线AB方向运动，设运动时间为t（s）．（1）求点B的坐标；
（2）在点P运动过程中，是否存在t的值，使得△APO为等腰三角形？若存在，请求出t的值；不存在试说明理由；
（3）当直线AC绕点A转动时，若∠ABC=2∠ACB，请直接写出这时m，n的值．答m=-$\frac{1}{2}$，n=4．
分析 （1）点A在直线上，确定出直线解析式，即可确定出点B坐标；
（2）分AP=OP，AP=OA，OP=OA三种情况列出方程确定出点P的坐标，进而得出AP即可求出时间；
（3）根据等腰三角形的性质构造出图形，得出OC'利用等腰三角形的三线合一确定出点C的坐标，最后代入解析式中，即可得出m，n．
解答 解：（1）∵直线y=$\frac{4}{3}$x+b分别交y轴、x轴于点A、B，已知点A（0，4），
∴b=4，
∴直线AB解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴B（-3，0），
（2）由（1）知，直线AB解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4，A（0，4），B（-3，0），
设P（m，$\frac{4}{3}$m+4）（m＜0），
∴AP2=m2+$\frac{16}{9}$m2=$\frac{25}{9}$m2，OP2=m2+（$\frac{4}{3}$m+4）2=$\frac{25}{9}$m2+$\frac{32}{3}$m+16，OA2=25，
∵△APO为等腰三角形，
∴①当AP=AO时，
∴AP2=AO2，
∴$\frac{25}{9}$m2=25，
∴m=5（舍）或m=-5，
∴AP=5，
∴t=AP÷2=$\frac{5}{2}$，
②当AP=OP时，
∴AP2=OP2，
∴$\frac{25}{9}$m2=$\frac{25}{9}$m2+$\frac{32}{3}$m+16，
∴m=-$\frac{3}{2}$，
∴AP=$\frac{5}{3}$|m|=$\frac{5}{2}$，
∴t=AP÷2=$\frac{5}{4}$，
③OA=OP时，
∴OA2=OP2，
∴$\frac{25}{9}$m2+$\frac{32}{3}$m+16=25，
∴m=$\frac{-48+3\sqrt{31}}{25}$或m=$\frac{-48-3\sqrt{31}}{25}$，
∴AP=$\frac{5}{3}$|m|=$\frac{16-\sqrt{31}}{5}$或AP=$\frac{16+\sqrt{31}}{5}$，
∴t=AP÷2=$\frac{16-\sqrt{31}}{10}$或t=$\frac{16+\sqrt{31}}{10}$；
即：满足条件的t的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{5}{4}$或$\frac{16-\sqrt{31}}{10}$或$\frac{16+\sqrt{31}}{10}$；
（3）如图，
由（2）知，AB=5，在OB的延长线上取一点C，使BC=AB=5，
∵OB=3，
∴OC=8，
∴BC=AB，
∴∠ABO=2∠AC'O，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠AC'O=∠ACB，
∵OA⊥CC'，
∴OC=OC'=8，
∴C（8，0），
∵A（0，4），
∴将A，C坐标代入y=mx+n得，$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{8m+4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$，4．
点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，解本题的关键是列出方程，用方程的思想是解此类题目常用的方法．
| A． | 3x-7 | B． | 2x-1=$\frac{1}{x}$ | C． | 4x-3=21x+17 | D． | x2-3=x |
如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
如图，⊙O为ABC的外接圆，AD为⊙O的切线，AD∥BC，BD交⊙O于E，且点E是$\widehat{AC}$的中点，连接AE．