题目内容
【题目】如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm.若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动.设点P、Q同时出发，并运动了t秒，
(1)直角梯形ABCD的BC为_____cm，周长为______cm.
(2)当t为多少时，四边形PQCD成为平行四边形？
(3)是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)12，32；(2)t＝
；(3)存在，t＝
秒，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC.
【解析】
(1)过点D作DE⊥BC于E，证出四边形ABED是矩形，根据矩形的对边相等求出DE、BE，再利用勾股定理求出CE，求出BC，即可得出周长；
(2)表示出PD、CQ，然后根据DP＝CQ列出方程，然后求解即可；
(3)由面积法求出PQ＝3t，由勾股定理求出CP＝4t，由题意得出方程，解方程即可.
(1)如图1所示，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠B＝90°，AD∥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝6cm，BE＝AD＝4cm，
由勾股定理得，
(cm)，
∴BC＝BE+CE＝4+8＝12cm，
∴直角梯形的周长＝AD+AB+BC+DC＝4+6+12+10＝32(cm)；
故答案为：12，32；
(2)由题意得：AP＝4t，CQ＝5t，
∴DP＝AD﹣AP＝4﹣4t，
∵DP∥CQ，
∴当DP＝CQ时，四边形PQCD成为平行四边形，
则4﹣4t＝5t，
解得：t＝；
即t为秒时，四边形PQCD成为平行四边形；
(3)存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC，理由如下：
作DE⊥BC于E，连接DQ，如图2所示：
∵点P在CD上，
∴CP＝14﹣4t，
∵PQ⊥CD，DE⊥BC，
∴
，
∴
，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：
，
∴
，
解得：t＝
此时，
，
∴存在t＝秒，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC.
