Question

【题目】如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，过点作交于，连接．

图1 图2

（1）求证：四边形为菱形；

（2）当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动；

①当点与点重合时（如图2），求菱形的边长；

②若限定，分别在边，上移动，则点在边上移动的最大距离是_______．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②点在边上移动的最大距离为

【解析】

（1）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论；

（2）①由矩形的性质得出，，，由对称的性质得出，在中，由勾股定理求出，得出；在中，由勾股定理得出方程，解方程得出即可；

②当点与点重合时，点离点最近，由①知，此时；当点与点重合时，点离点最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案．

（1）证明：折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，

点与点关于对称，

，，．

又，

，，

，，

四边形为菱形．

（2）解：①四边形是矩形，

，，．

点与点关于对称，

．

在中，

，

．

在中，

，，

．

解得，．

②当点与点重合时，点离点最近，如图，由①知，此时．

当点与点重合时，点离点最远，如下图：此时四边形为正方形，，

点在边上移动的最大距离为．