题目内容
【题目】已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AF和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
【答案】1）
；
；（2）
；（3）存在，2 或
或
或
【解析】
（1）利用矩形性质、求解
，结合AE ⊥BD利用等面积法求解AE，利用勾股定理求解BE，由轴对称的性质可得答案．
（2）依题意画出图形，如图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如图3所示，对于各种情形分别进行计算．
解：（1）
矩形ABCD，
是点E关于AB的对称点，
（2）由对称点性质可知，
设平移中的三角形为△A′B′F′，
如图2所示： 
∠1=∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，
∠4=∠1，BF=B′F′=．
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=，即m=；
②当点F′落在AD上时， ∵AB∥A′B′，
∴∠6=∠2，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′=，
∴BB′=BD-B′D=
综上：
或
（3）存在．
理由如下：假设存在， 在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如图3-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，
∠2=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=AB=3，
∴F′Q=F′A′+A′Q=
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：
BQ
∴DQ=BQ-BD=
；
②如答图3-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ， ∴∠2=∠P，
同理 ∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，
∵PD∥BC，
∴此时点A′落在BC边上．
∵PD∥BC，
∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q=-BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：
解得：
∴DQ=BD-BQ
；
③如图3-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，则∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
同理∠1=∠2，∠4=
．
∴∠A′QB=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=A′Q-A′F′
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：
BQ
∴DQ=BD-BQ
；
④如图3-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，则∠2=∠3．
同理∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=3，
∴DQ=BD-BQ
．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形； DQ的长度分别为
或 或 或
