Question

【题目】如图，内接于以为直径的中，且点是的内心，的延长线与交于点，与交于点，的切线交的延长线于点．

（1）试判断的形状，并给予证明；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析；（2）AE＝．

【解析】

（1）根据圆周角定理的推论可得∠BDA＝90°，∠ACB＝90°，然后根据内心的性质结合三角形外角的性质求出∠BED＝45°即可得到是等腰直角三角形；

（2）根据切线的性质求出∠POD＝60°，可得∠OAD＝30°，然后解等腰直角三角形求出BD＝DE＝，进而求出AD＝即可．

解：（1）是等腰直角三角形；

证明：∵AB是直径，

∴∠BDA＝90°，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠CBA＝90°，

∵点是的内心，

∴AE，BE分别是∠CAB和∠CBA的角平分线，

∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE＝∠CAB＋∠CBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝45°，

∴是等腰直角三角形；

（2）连接OD，

∵是的切线，

∴∠ODP＝90°，

∴∠POD＝90°－30°＝60°，

∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA＝30°，

∵，是等腰直角三角形，

∴BD＝DE＝BE·cos45°＝2×，

∴AD＝，

∴AE＝AD－DE＝．