Question

【题目】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2 ， 我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
（3）如图3，C是函数y= （x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP=∠BOP= ∠MON=45°，

∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，

∴∠OAP+∠APO=135°，

∵∠APB=135°，

∴∠APO+∠OPB=135°，

∴∠OAP=∠OPB，

∴△AOP∽△POB，

∴ ，

∴OP2=OAOB，

∴∠APB是∠MON的智慧角

（2）

解：∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OAOB=OP2，

∴ ，

∵P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP=∠BOP= α，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP=∠OPB，

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣ α，

即∠APB=180°﹣ α；

过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：

则S△AOB= OBAH= OBOAsinα= OP2sinα，

∵OP=2，

∴S△AOB=2sinα；

（3）

设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：

①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：

BC=2CA不可能；

当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示：

∵BC=2CA，

∴ ，

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO，

∴ = ，

∴OB=3b，OA= ，

∴OAOB= 3b= = ，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP= = = ，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：（ ， ）；

②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示：

∵BC=2CA，

∴AB=CA，

在△ACH和△ABO中，

，

∴△ACH≌△ABO（AAS），

∴OB=CH=b，OA=AH= a，

∴OAOB= ab= ，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP= = = ，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：（ ，﹣ ）；

综上所述：点P的坐标为：（ ， ），或（ ，﹣ ）．

【解析】（1）由角平分线求出∠AOP=∠BOP= ∠MON=45°，再证出∠OAP=∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例 ，得出OP2=OAOB，即可得出结论；（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出 ，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°﹣ α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△AOB= OBAH，即可得出S△AOB=2sinα；（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出 ，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式： = ，得出OB=3b，OA= ，求出OAOB= ，根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的坐标；
②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB=CA，由AAS证明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH= a，得出OAOB= ，求出OP，即可得出点P的坐标．
【考点精析】本题主要考查了反比例函数的性质的相关知识点，需要掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能正确解答此题．