Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），

∴点P的坐标是（2，1）．

∴PA的长为2

（2）解：过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．

∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，

∴OA=AB．

∵∠OAB=90°，

∴∠AOB=∠ABO=45°．

∵∠AOC=90°，

∴∠POC=45°．

∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，

∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．

∴∠NPM=90°．

∵∠APC=90°．

∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM．

在△ANP和△CMP中，

，

∴△ANP≌△CMP．

∴PA=PC．

∴PA：PC的值为1：1；

（3）解：①若点P在线段OB的延长线上，

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，

PM与直线AC的交点为F，如图2所示．

∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，

∴△ANP∽△CMP．

∴ ．

∵∠ACE=∠AEC，

∴AC=AE．

∵AP⊥PC，

∴EP=CP．

∵PM∥y轴，

∴AF=CF，OM=CM．

∴FM= OA．

设OA=x，

∵PF∥OA，

∴△PDF∽△ODA．

∴ ，

∵PD=2OD，

∴PF=2OA=2x，FM= x．

∴PM= x．

∵∠APC=90°，AF=CF，

∴AC=2PF=4x．

∵∠AOC=90°，

∴OC= x．

∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，

∴四边形PMON是矩形．

∴PN=OM= x．

∴PA：PC=PN：PM= x： x= ．

②若点P在线段OB的反向延长线上，

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，

PM与直线AC的交点为F，如图3所示．

同理可得：PM= x，CA=2PF=4x，OC= x．

∴PN=OM= OC= x．

∴PA：PC=PN：PM= x： x= ．

综上所述：PA：PC的值为 或 ．

【解析】（1）易得点P的坐标是（2，1），即可得到PA的长．（2）易证∠AOB=45°，由角平分线的性质可得PM=PN，然后通过证明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值．（3）可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC=PN：PM，设OA=x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出PA：PC的值．
【考点精析】掌握角平分线的性质定理和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．