Question

(本小题9分)如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D

小题1:（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；
小题2:（2）求B、C两点的坐标；
小题3:（3）求直线CD的函数解析式；
小题4:（4）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标.

Answer 1

小题1:解：（1）C为弧OB的中点
联结AC
∵OC⊥OA   ∴AC为圆的直径     --------------------------------------1分
∴∠ABC=90°
∵△OAB为等边三角形
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°
∵∠ACB=∠AOB=60°
∴∠COB=∠OBC=30°
∴弧OC=弧BC         -----------------------2分
即C为弧OB的中点
小题2:（2）过点B作BE⊥OA于E
∵A（2，0）   ∴OA=2
∴OE=1，BE= 
∴点B的坐标是（1，）
∵C为弧OB的中点，CD是圆的切线，AC为圆的直径
∴AC⊥CD，AC⊥OB   ∴∠CAO=∠OCD=30°∴
∴C(0,)   
小题3:（3）在△COD中，∠ COD=90°，
∴OD=     ∴D(-,0)          
∴直线CD的解析式为：
小题4:（4）∵四边形OPCD是等腰梯形
∴∠CDO=∠DCP=60°  
∴∠OCP=∠COB =30°
∴PC="PO             "
过点P 作PF⊥OC于F, 则OF=OC=,
∴ PF=                            
∴ 点P的坐标为：（，）

略