题目内容
【题目】阅读下面材料，完成（1）-（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图，△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．”
小伟：“通过观察发现，∠AFE与α存在某种数量关系．”
老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．”
（1）求证：BE＝CD；
（2）求∠AFE的度数（用含α的式子表示）；
（3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）∠AFE＝
；（3）EF＝FC+2GF，见解析
【解析】
（1）由∠DAB＝∠CAE＝α，可得∠DAC＝∠BAE，根据“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得DC＝BE；
（2）由△ADC≌△ABE可得∠AEF＝∠ACD，即可证点A，点E，点C，点F四点共圆，可得∠AFE＝∠ACE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠AFE的度数；
（3）结论：EF＝FC+2GF．由题意可得∠AFD＝＝∠AFE，过点作AH⊥BE，可证△AGF≌△AHF，可得AG＝AH，GF＝HF，即可证Rt△AGC≌Rt△AHE，可得GC＝HE，由EF﹣FC＝2GF可得结论．
证明：（1）∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴DC＝BE．
（2）∵△ADC≌△ABE
∴∠AEF＝∠ACD
∴点A，点E，点C，点F四点共圆
∴∠AFE＝∠ACE
∵AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α
∴∠ACE＝，
∴∠AFE＝．
（3）结论：EF＝FC+2GF．
理由：∵△ADC≌△ABE
∴∠ADC＝∠ABE
∴点A，点D，点B，点F四点共圆
∴∠AFD＝∠ABD
∵AB＝AD，∠DAB＝∠CAE＝α
∴∠ABD＝，
∴∠AFD＝，
∴∠AFE＝∠AFD
如图，过点作AH⊥BE，
∵∠AFE＝∠AFD，∠AGF＝∠AHF，AF＝AF
∴△AGF≌△AHF（AAS）
∴AG＝AH，GF＝HF，
∵AG＝AH，AE＝AC
∴Rt△AGC≌Rt△AHE（HL）
∴GC＝HE
∵EF﹣FC＝HE+FH﹣FC＝GC+FH﹣FC＝GF+FC+FH﹣FC＝2GF，
∴EF＝FC+2GF．
