Question

如图所示，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCD是菱形，点A的坐标是（6，0），点B在x轴上，点C在y轴上，∠OBC=60°．

（1）求点D的坐标；
（2）动点P、Q分别从B、A两点同时出发，点P以1个单位/秒的速度沿OA向点终点A匀速运动，点Q以2个单位/秒的速度沿折线ADC匀速运动，过点Q作QE⊥OA，垂足为E，设点P运动的时间为t秒，△PEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使得以P、Q、B、D四点连成四边形是等腰梯形？若存在请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）设OB=x，先由△OBC是含30°角的直角三角形，得出BC=2x，OC=

3

x，再根据四边形ABCD是菱形，得出AB=BC，即6-x=2x，求出x的值，计算出CD，OC的长，从而求出点D的坐标；  
（2）由于点P到达AB中点时，点Q到达D点，所以分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，点P在AB中点或中点的左边，点Q在AD上，先解Rt△AQE，用含t的代数式分别表示QE，PE，再根据S=

1

2

QE•PE，即可求出S与t之间的函数关系式；②当2＜t≤4时，点P在AB中点的右边，点Q在DC上．用含t的代数式表示出PE=3t-6，再将QE=OC=2

3

代入S=

1

2

QE•PE，即可求出S与t之间的函数关系式；
（3）分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，点P在AB上，点Q在AD上，由于BP与DQ相交即不平行，则当PQ∥BD时，以P、Q、B、D四点连成的四边形是等腰梯形．由PQ∥BD，可得AP=AQ，即4-t=2t，解得t=

4

3

；②当2＜t≤4时，点P在AB上，点Q在DC上，由于BP∥DQ，则当BQ=PD时，以P、Q、B、D四点连成的四边形是等腰梯形．作梯形BPDQ的高DM，QN，根据等腰梯形的性质得出BN=PM，BP-DQ=2PM，即t-（2t-4）=2（t-2），解得t=

8

3

．

解答：解：（1）设OB=x．
在Rt△OBC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=60°，
∴∠OCB=30°，
∴BC=2OB=2x，OC=

3

OB=

3

x．
∵四边形ABCD是菱形，点A的坐标是（6，0），
∴AB=BC，即6-x=2x，
解得x=2，
∴CD=BC=4，OC=2

3

，
∴点D的坐标为（4，2

3

）；  

（2）分两种情况：
①当0＜t≤2时，点P在AB中点或中点的左边，点Q在AD上，如图1．
在Rt△AQE中，∵∠AEQ=90°，∠EAQ=∠OBC=60°，AQ=2t，
∴AE=

1

2

AQ=t，QE=

3

AE=

3

t．
∵BP=t，AB=4，
∴PE=AB-BP-AE=4-2t，
∴S=

1

2

QE•PE=

1

2

×

3

t（4-2t）=-

3

t²+2

3

t；
②当2＜t≤4时，点P在AB中点的右边，点Q在DC上，如图2．
∵OP=OB+BP=2+t，CQ=OE=8-2t，
∴PE=OP-OE=（2+t）-（8-2t）=3t-6，
∴S=

1

2

QE•PE=

1

2

×2

3

（3t-6）=3

3

t-6

3

．
综上可知，S=

- 3 t2+2 3 t(0＜t≤2) 3 3 t-6 3 (2＜t≤4)

；

（3）分两种情况：
①当0＜t≤2时，点P在AB上，点Q在AD上，如图3．
∵BP与DQ不平行，
∴当PQ∥BD时，BP=DQ，以P、Q、B、D四点连成的四边形是等腰梯形．
由PQ∥BD，可得△APQ∽△ABD，
∵△ABD是等边三角形，
∴△APQ为等边三角形，
∴AP=AQ，即4-t=2t，
解得t=

4

3

；
②当2＜t≤4时，点P在AB上，点Q在DC上，如图4．
∵BP∥DQ，
∴当BQ=PD时，以P、Q、B、D四点连成的四边形是等腰梯形．
作等腰梯形BPDQ的高DM，QN，则BN=PM，
∴BP-DQ=2PM，
∵BP=t，DQ=2t-4，PM=OP-OM=2+t-4=t-2，
∴t-（2t-4）=2（t-2），
解得t=

8

3

．
故存在t的值，使得以P、Q、B、D四点连成的四边形是等腰梯形，此时t=

4

3

或t=

8

3

．

点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，三角形的面积，等腰梯形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．