Question

如图，一次函数y=ax+b（b≠0）的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=

5

，tan∠AOC=

1

2

，且S_△AOD=1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．

Answer 1

（1）过A作AE⊥x轴，交x轴于点E，
在Rt△AOE中，OA=

5

，tan∠AOC=

1

2

，
设AE=m，则OE=2m，
根据勾股定理得：OA²=OE²+AE²，即m²+4m²=5，
解得：m=1或m=-1（舍去），
∴AE=1，OE=2，即A（2，-1），
将x=2，y=-1代入反比例解析式得：-1=

k

2

，
解得：k=-2，
∴反比例解析式为y=-

2

x

；
∵S_△AOD=

1

2

OD•OE=1，OE=2，
∴OD=1，即D（0，1），
将A和D坐标代入y=ax+b中得：

2a+b=-1 b=1

，
解得：

a=-1 b=1

，
则一次函数解析式为y=-x+1；

（2）对于一次函数y=-x+1，
令y=0，求得x=1，故C（1，0），即OC=1，
将一次函数与反比例函数联立得：

y=- 2 x y=-x+1

，
解得：

x=2 y=-1

或

x=-1 y=2

，
∴B（-1，2），
则S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC=

1

2

×1×2+

1

2

×1×1=

3

2

．