题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为(3, ),点C的坐标为( ,0),点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为(
A.
B.
C.
D.2

【答案】B
【解析】解:法一: 作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN⊥OA于N,
则此时PA+PC的值最小,
∵DP=PA,
∴PA+PC=PD+PC=CD,
∵B(3, ),
∴AB= ,OA=3,∠B=60°,由勾股定理得:OB=2
由三角形面积公式得: ×OA×AB= ×OB×AM,
∴AM=
∴AD=2× =3,
∵∠AMB=90°,∠B=60°,
∴∠BAM=30°,
∵∠BAO=90°,
∴∠OAM=60°,
∵DN⊥OA,
∴∠NDA=30°,
∴AN= AD= ,由勾股定理得:DN=
∵C( ,0),
∴CN=3﹣ =1,
在Rt△DNC中,由勾股定理得:DC= =
即PA+PC的最小值是
法二:
如图,作点C关于OB的对称点D,连接AD,过点D作DM⊥OA于M.
∵AB= ,OA=3
∴∠AOB=30°,
∴∠DOC=2∠AOB=60°
∵OC=OD
∴△OCD是等边三角形
∴DM=CDsin60°= ,OM=CM=CDcos60°=
∴AM=OA﹣OM=3﹣ =
∴AD= =
即PA+PC的最小值为
故选:B.


作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN⊥OA于N,则此时PA+PC的值最小,求出AM,求出AD,求出DN、CN,根据勾股定理求出CD,即可得出答案.

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