Question

如图，在Rt中，，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E是BC的中点．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点E作EF⊥DE，交AB于点F．若AC=3，BC＝4，求DF的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：（1）连结OD，CD，求出DE=CE=BE，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）根据勾股定理求出AB=5，解直角三角形得出cosB=，求出DE，推出∠EDF=∠B，解直角三角形求出即可．
试题解析：（1）证明：连结OD，CD．

∵是直径，
∴．
∴．
∵E是BC的中点，
∴．
∴．
∵OC=OD,
∴∠3 ="∠4" ，
∴．
即．
∵,
∴.
又∵是半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△ABC中，

∵，AC=3，BC＝4，
∴AB=5．          4分
∴．
∵E是BC的中点，
∴．   5分
∴．
∴．
∴．
考点: 1.切线的判定；2.解直角三角形.