Question

【题目】如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒. 动点E到达点C时运动终止.连结DE、CD、AE.（1）填空:当动点运动_______ 秒时，△BDE与△ABC相似？

（2）设动点运动t秒时△ADE的面积为s，求s与t的函数解析式；

（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使CD⊥DE？若存在，求出时刻t；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）秒或秒；（2）s=t2（0≤t≤）；(3)存在，．

【解析】

试题设D点运动时间为t，则AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），

（1）分类：当∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC；当∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BCA，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值；

（2）过E作EF⊥AB于F，易证Rt△BEF∽Rt△BAC，根据三角形相似的性质得到比例线段用t表示EF，BF，然后根据三角形的面积公式求解即可；

（3）先计算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t．

试题解析：设D点运动时间为t，则AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），

（1）当∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC，

∴BD：BA=BE：BC，即（4-t）：4=2t：5，

∴t=；

当∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BCA，

∴BD：BC=BE：BA，即（4-t）：5=2t：4，

∴t=；

所以当动点运动秒或秒时，△BDE与△ABC相似；

（2）过E作EF⊥AB于F，如图，

易证Rt△BEF∽Rt△BAC，

∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，

∴EF=，BF=，

∴S=AD×EF=×t×=t2（0≤t≤）；

（3）存在．

DF=AB-AD-BF=4-t-=4-t，

若CD⊥DE，

易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，

∴AC：DF=AD：EF，即3：（4-t）=t：，

∴t=．