题目内容
【题目】在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），C是AB中点，连接OC，将△AOC绕点A顺时针旋转，得到△AMN，记旋转角为α，点O，C的对应点分别是M，N．连接BM，P是BM中点，连接OP，PN．
（Ⅰ）如图①．当α＝45°时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，求证：OP＝PN且OP⊥PN；
（Ⅲ）当△AOC旋转至点B，M，N共线时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）M（4﹣2
，2）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）满足条件的点M的坐标为（2，2
）或（2，﹣2）．
【解析】
（Ⅰ）如图①中，过点M作MD⊥OA于D．解直角三角形求出OD，OM即可解决问题．
（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题．
（Ⅲ）分两种情形：①如图③1中，当点M在线段BN上时，②如图③2中，当点N在线段BM上时，分别求解即可解决问题．
（Ⅰ）如图①中，过点M作MD⊥OA于D．
∵A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵C是AB的中点，
∴OC＝CB＝CA＝
AB，且OC⊥AB，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴当α＝45°时，点M在AB上，
由旋转可知：△AOC≌△AMN，
∴AM＝OA＝4．MD＝AD＝
AM＝2，
∴OD＝OA＝AD＝4﹣2，
∴M（4﹣2，2）．
（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，
∵∠BNM＝∠BOM＝90°，P是BM的中点，
∴OP＝PN＝PB＝PM，
∴∠PMN＝∠PNM，∠POB＝∠PBO，
∵∠NPM＝180°﹣2∠PMN，∠BPO＝180°﹣2∠PBO，
∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（∠PMN+∠PBO）
∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（45°+∠PMO+∠PBO），
∵∠PMO+∠PBO＝90°，
∴∠MPN+∠BPO＝90°，
∴∠OPN＝180°﹣（∠MPN+∠BPO）＝90°，
∴OP⊥PN．
（Ⅲ）①如图③﹣1中，当点M在线段BN上时，
在Rt△ABN中，∵AB＝4，AN＝2，
∴AB＝2AN，
∴∠ABN＝30°，
∴BN＝AN＝2
，BM＝BN＝MN＝2﹣2，
过点M作MK⊥OB于K，在MK上截取一点J，使得BJ＝MJ，设BK＝a，
∵∠ABO＝45°，
∴∠MBK＝75°，∠KMB＝15°，
∵JB＝JM，
∴∠JBM＝∠JMB＝15°，
∴∠BJK＝∠JBM+∠JMB＝30°，
∴BJ＝JM＝2a，KJ＝a，
∵BM2＝BK2+KM2，
∴（2﹣2）2＝a2+（2a+a）2，
解得a＝4﹣2（负根已经舍弃），
∴KM＝2a+a＝2，OK＝2，
∴M（2，2），
②如图③﹣2中，当点N在线段BM上时，同法可得M（2，﹣2），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．
