题目内容
【题目】水果店购进某种水果的成本为10元/千克，经市场调研，获得销售单价p（元/千克）与销售时间t（1≤t≤15，t为整数）（天）之间的部分数据如下表：
销售时间t（1≤t≤15，t为整数）（天） | 1 | 4 | 5 | 8 | 12 |
销售单价p（元/千克） | 20.25 | 21 | 21.25 | 22 | 23 |
已知p与t之间的变化规律符合一次函数关系．
（1）试求p关于t的函数表达式；
（2）若该水果的日销量y（千克）与销售时间t（天）的关系满足一次函数y=－2t+120（1≤t≤15，t为整数）．
① 求销售过程中最大日销售利润为多少？
② 在实际销售的前12天中，公司决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（n＜3）给“精准扶贫”对象．现发现：在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围
【答案】（1）p=
t+20（1≤t≤15，t为整数）；（2）①1250元；②1≤n＜3
【解析】
（1）设p=kt+b，利用待定系数法即可解决问题；
（2）日利润=日销售量×每公斤利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前12天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围．
解：（1）设p与t之间的变化的一次函数关系为：p=kt+b，
将点(4，21)、(8，22)代入上式得：
，解得：
，
故p关于t的函数表达式为：p=t+20（1≤t≤15，t为整数）；
（2）①设日销售利润为w，由题意得：
w=y(p-10)=(－2t+120) (t+10)
=-
t2+10t+1200
=-(t-10)2+1250（1≤t≤15，t为整数），
∵＜0，故w有最大值，
∴当t=10时，w的最大值为1250；
故销售过程中最大日销售利润为1250元；
②设捐赠后的日销售利润为m，由题意得：
m=w-n=t2+10t+1200-n(－2t+120)
=t2+10t+1200+2nt-120n
=-t2+(10+2n)t+1200-120n，
∵在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴
，
∴n≥1．
又∵n＜3，
∴n的取值范围为1≤n＜3．
