Question

20．如图，点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=3，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
（1）请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
（2）当∠ABC=30°时，求线段BE长；
（3）直接写出线段BE长的最大值．

Answer 1

分析 （1）BE=CD，根据等边三角形的性质证明△ABE≌△ADC，可以得出；
（2）如图1，利用勾股定理求出DC=5，再利用（1）中CD=BE，得出结论；
（3）线段BE长的最大值就是线段CD的最大值，当D、B、C在同一直线上时，DC最大为7，由此得出结论：BE的最大值为也是7．

解答 解：（1）BE=CD，理由是：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴CD=BE；
（2）如图1，∵∠ABC=30°，∠ABD=60°，
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=60°+30°=90°，
∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，
在Rt△DBC中，∵BC=4，
∴DC=$\sqrt{B{C}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴BE=DC=5；
（3）在△BDC中，DC＜BC+BD，
∴DC＜3+4=7，
∴当D、B、C在同一直线上时，DC最大为7，
∵BE=DC，
∴BE的最大值为也是7．

点评 本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定，全题都是围绕一个问题：BE=CD进行证明，而BE=CD是由△ABE≌△ADC得出，属于常考题型；对于第三问的最值问题，利用了三角形的三边关系得出结论．