Question

(10分) 如图9，已知，在△ABC中，∠ABC=，BC为⊙O的直径， AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.

（1）求证：ED是⊙O的切线.
（2）如果CF ="1,CP" =2，sinA =，求⊙O的直径BC.

Answer 1

（1）略
（2）5

解：⑴ 连接OD                  …………………………………………1分
∵BC为直径 ∴△BDC为直角三角形。
又∵∠OBD=∠ODB  
Rt△ADB中E为AB中点    ∴∠ABD=∠EDB       …………………………2分
∵∠OBD+∠ABD=90       ∴∠ODB+∠EDB=90
∴ED是⊙O的切线。                  …………………………………………5分
(2)∵PF⊥BC    
∴∠FPC=∠PDC      又∠PCF公用
∴△PCF∽△DCP        ………………………………………………………7分
∴PC=CF·CD
又∵CF="1,  " CP=2， ∴CD="4       " …………………………………………8分
可知 sin∠DBC =" sinA" =
∴=即= 得直径BC=" 5    " ………………………………………10分