Question

（本题满分10分，每小题5分）
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．

（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长；
（2）求证：AE2＝EB·EC．

Answer 1

（1）
（2）证明略

解：（1）解法一：                        解法二：
∵AB为⊙O的直径，                    ∵AB为⊙O的直径，∠B＝30°，
∴∠ACB＝90°．……1分               ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝…2分
∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，   ∵弦CD⊥直径AB于点M，
∴BC＝AB•cos30°＝2×…2分   ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分 
∵弦CD⊥直径AB，∠B＝30°，        ∴CD＝2CM＝2×
∴ CM＝BC=.……4分                     ＝2×＝……5分
CD＝2CM＝．……5分  
（其它解法请酌情给分）
（2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分
∴∠ACE＝∠BAE＝90°．  7分
又∵∠E＝∠E，
∴Rt△ECA∽Rt△EAB．    8分
∴．  9分
∴AE2＝EB•EC．  10分