题目内容

如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标.
(1)∵抛物线y=ax2-3ax+b过A(-1,0)、C(3,2),
∴0=a+3a+b,2=9a-9a+b.
解得a=-
1
2
,b=2,
∴抛物线解析式y=-
1
2
x2+
3
2
x+2.

(2)如图1,过点C作CH⊥AB于点H,
由y=-
1
2
x2+
3
2
x+2得B(4,0)、D(0,2).
又∵A(-1,0),C(3,2),
∴CDAB.
由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形,
∴S△AOD=S△BHC
设矩形ODCH的对称中心为P,则P(
3
2
,1).
由矩形的中心对称性知:过P点任一直线将它的面积平分.
∴过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分.
当直线y=kx-1经过点P时,
得1=
3
2
k-1
∴k=
4
3

∴当k=
4
3
时,直线y=
4
3
x-1将四边形ABCD面积二等分.

(3)如图2,由题意知,
∵△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ,
∴设绕点I旋转,联结AI,NI,MI,EI,
∵AI=MI,NI=EI,
∴四边形AEMN为平行四边形,
∴ANEM且AN=EM.
∵E(1,-1)、A(-1,0),
∴设M(m,n),则N(m-2,n+1)
∵M、N在抛物线上,
∴n=-
1
2
m2+
3
2
m+2,n+1=-
1
2
(m-2)2+
3
2
(m-2)+2,
解得m=3,n=2.
∴M(3,2),N(1,3).
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