题目内容
如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6），将△BCD沿BD折叠（D点在OC上），使C点落在OA边的E点上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．
（1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线解析式；
（3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC，分别交BC和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使S△BNM=S△BPM？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线解析式；
（3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC，分别交BC和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使S△BNM=S△BPM？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）由翻折可知：△BCD≌△BED，∴∠CBD=∠DBE．
又∵△ABE≌△FBE，∴∠DBE=∠ABE．
又∵四边形OCBA为矩形，
∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°．
在Rt△DOE中，∠ODE=60°，∴DE=CD=2OD．
∵OC=OD+CD=6，∴OD+2OD=6，
∴OD=2，D（0，2），
∴CD=4．
在Rt△CDB中，BC=CD•tan60°=4
，∴B（4
，6）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
由题意得：
，解得
，
∴直线BD的解析式为：y=
x+2．
（2）在Rt△FGE中，∠FEG=60°，FE=AE．
由（1）易得：OE=2
，
∴FE=AE=2
．
∴FG=3，GE=
．∴OG=
．
∵H是FG的中点，
∴H（
，
）．
∵抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点，
∴
，解得
，
∴y=
x2-
x+2．
（3）存在．
∵P在抛物线上，
∴设P（x，
x2-
x+2），M（x，
x+2），N（x，6）．
∵S△BNM=S△BPM，
∴PM=MN．
即：-
x2+
x=4-
x，
整理得：x2-2
x-4=0，
解得：x=2
或x=4
．
当x=2
时，y=
x2-
x+2=2；
当x=4
时，y=
x2-
x+2=6，与点B重合，不符合题意，舍去．
∴P（2
，2）．
∴存在点P，使S△BNM=S△BPM，点P的坐标为（2
，2）．
又∵△ABE≌△FBE，∴∠DBE=∠ABE．
又∵四边形OCBA为矩形，
∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°．
在Rt△DOE中，∠ODE=60°，∴DE=CD=2OD．
∵OC=OD+CD=6，∴OD+2OD=6，
∴OD=2，D（0，2），
∴CD=4．
在Rt△CDB中，BC=CD•tan60°=4
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设直线BD的解析式为y=kx+b，
由题意得：
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∴直线BD的解析式为：y=
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（2）在Rt△FGE中，∠FEG=60°，FE=AE．
由（1）易得：OE=2
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∴FE=AE=2
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∴FG=3，GE=
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∵H是FG的中点，
∴H（
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∵抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点，
∴
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∴y=
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（3）存在．
∵P在抛物线上，
∴设P（x，
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∵S△BNM=S△BPM，
∴PM=MN．
即：-
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整理得：x2-2
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解得：x=2
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当x=2
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当x=4
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∴P（2
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∴存在点P，使S△BNM=S△BPM，点P的坐标为（2
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练习册系列答案
相关题目
x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．
