题目内容
已知抛物线y=-
x2+bx+c与x轴交于不同的两点A(x1,0)和B(x2,0),与y轴交于点C,且x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个根(x1<x2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A作AD∥CB交抛物线于点D,求四边形ACBD的面积;
(3)如果P是线段AC上的一个动点(不与点A、C重合),过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,使得△PQR为等腰直角三角形?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A作AD∥CB交抛物线于点D,求四边形ACBD的面积;
(3)如果P是线段AC上的一个动点(不与点A、C重合),过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,使得△PQR为等腰直角三角形?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)解方程x2-2x-3=0,
得x1=-1,x2=3.
∴点A(-1,0),点B(3,0).
∴
,
解,得
,
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x+2.
(2)∵抛物线与y轴交于点C.
∴点C的坐标为(0,2).
又点B(3,0),可求直线BC的解析式为y=-
x+2.
∵AD∥CB,
∴设直线AD的解析式为y=-
x+b′.
又点A(-1,0),
∴b′=-
,直线AD的解析式为y=-
x-
.
解
,
得
,
,
∴点D的坐标为(4,-
).
过点D作DD’⊥x轴于D’,DD’=
,则又AB=4.
∴四边形ACBD的面积S=
AB•OC+
AB•DD’=10
.
(3)假设存在满足条件的点R,设直线l交y轴于点E(0,m),
∵点P不与点A、C重合,
∴0<m<2,
∵点A(-1,0),点C(0,2),
∴可求直线AC的解析式为y=2x+2,
∴点P(
m-1,m).
∵直线BC的解析式为y=-
x+2,
∴点Q(-
m+3,m).
∴PQ=-2m+4.在△PQR中,
①当RQ为底时,过点P作PR1⊥x轴于点R1,则∠R1PQ=90°,PQ=PR1=m.
∴-2m+4=m,
解得m=
,
∴点P(-
,
),
∴点R1坐标为(-
,0).
②当RP为底时,过点Q作QR2⊥x轴于点R2,
同理可求,点R2坐标为(1,0).
③当PQ为底时,取PQ中点S,过S作SR3⊥PQ交x轴于点R3,
则PR3=QR3,∠PR3Q=90度.
∴PQ=2R3S=2m.
∴-2m+4=2m,
解,得m=1,
∴点P(-
,1),点Q(
,1),可求点R3坐标为(
,0).
经检验,点R1,点R2,点R3都满足条件.
综上所述,存在满足条件的点R,它们分别是R1(-
,0),R2(1,0)和点R3(
,0).
得x1=-1,x2=3.
∴点A(-1,0),点B(3,0).
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解,得
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∴抛物线的解析式为y=-
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(2)∵抛物线与y轴交于点C.
∴点C的坐标为(0,2).
又点B(3,0),可求直线BC的解析式为y=-
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∵AD∥CB,
∴设直线AD的解析式为y=-
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又点A(-1,0),
∴b′=-
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解
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得
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∴点D的坐标为(4,-
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过点D作DD’⊥x轴于D’,DD’=
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∴四边形ACBD的面积S=
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(3)假设存在满足条件的点R,设直线l交y轴于点E(0,m),
∵点P不与点A、C重合,
∴0<m<2,
∵点A(-1,0),点C(0,2),
∴可求直线AC的解析式为y=2x+2,
∴点P(
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∵直线BC的解析式为y=-
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∴点Q(-
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∴PQ=-2m+4.在△PQR中,
①当RQ为底时,过点P作PR1⊥x轴于点R1,则∠R1PQ=90°,PQ=PR1=m.
∴-2m+4=m,
解得m=
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∴点P(-
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∴点R1坐标为(-
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②当RP为底时,过点Q作QR2⊥x轴于点R2,
同理可求,点R2坐标为(1,0).
③当PQ为底时,取PQ中点S,过S作SR3⊥PQ交x轴于点R3,
则PR3=QR3,∠PR3Q=90度.
∴PQ=2R3S=2m.
∴-2m+4=2m,
解,得m=1,
∴点P(-
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经检验,点R1,点R2,点R3都满足条件.
综上所述,存在满足条件的点R,它们分别是R1(-
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