Question

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=-x²+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线上一点，且S_△ABP=

1

2

S_△ABC，这样的点P有______个．

Answer 1

（1）∵直线y=-x+3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，3）；
已知抛物线经过B、C两点，则有：

-9+3b+c=0 c=3

，
解得

b=2 c=3

；
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）令（1）所得的抛物线中y=0，得-x²+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），
又∵B（3，0），C（0，3），
∴AB=4，OC=3；
S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6；

（3）∵S_△ABC=

1

2

AB•OC，S_△ABP=

1

2

AB•|y_P|，且S_△ABP=

1

2

S_△ABC，
∴|y_P|=

1

2

OC=1.5，
即P点的纵坐标为±1.5；
由函数的图象知，符合条件的P点共有4个．