题目内容
【题目】综合题。
（1）如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，探究BF，DE，EF之间的数量关系，第一学习小组合作探究后，得到DE﹣BF=EF，请证明这个结论； 
（2）若（1）中的点G在CB的延长线上，其余条件不变，请在图②中画出图形，并直接写出此时BF，DE，EF之间的数量关系； 
（3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，E，F是AC上的两点，且满足∠AED=∠BFA=∠BCD，试判断AC，DE，BF之间的数量关系，并说明理由． 
【答案】
（1）解：如图1中，结论：DE﹣BF=EF．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∵AF﹣AE=EF，
∴DE﹣BF=EF
（2）解：结论EF=DE+BF．理由如下：
如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴EF=AF+AF=DE+BF
（3）解：如图3中，结论：AC=BF+DE．理由如下：
连接BD．
∵∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，
又∵∠DBC=∠DAE，∠DCB=∠AED，
∴∠ADE=∠BDC，
∵∠BDC=∠BAF，
∴∠ADE=∠BAF，∵AD=AB，∠AED=∠AFB，
∴△ADE≌△BAF，
∴AE=BF，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=∠ACD，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠CDE=∠ADB，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=CE，
∴AC=BF+DE
【解析】（1）如图1中，结论：DE﹣BF=EF．只要证明△ABF≌△DAE，即可解决问题．（2）结论EF=DE+BF．证明方法类似（1）．（3）如图3中，结论：AC=BF+DE．只要证明△ADE≌△BAF以及DE=EC即可解决问题．
