题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2＋bx经过A（2，0），B（3，－3）两点，抛物线的顶点为C，动点P在直线OB上方的抛物线上，过点P作直线PM∥y轴，交x轴于M，交OB于N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）当△PON为等腰三角形时，点N的坐标为 ；当△PMO∽△COB时，点P的坐标为 ；（直接写出结果）
（3）直线PN能否将四边形ABOC分为面积比为1：2的两部分？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋2x；C（1，1）；（2）N1（1，－1），N2（2，－2），N3（
， 
）P1（
， 
），P2（
， 
）；（3）
或
【解析】（1）本题需先根据抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过（2，0）B（3，-3）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线y=ax2+bx即可求出它的解析式；
（2）由△PON为等腰三角形的条件，依次写出点N、点P的坐标；
（3）作BD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，交OB于F，由三角形面积求出OE＝EF，然后分几种情况得到m 的值．
解：（1）根据题意，得
，解这个方程组得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x
当x＝
时，y＝－x2＋2x＝1，∴C（1，1）
（2）N1（1，－1），N2（2，－2），N3（
， 
）
P1（
， 
），P2（
， 
）
（3）作BD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，交OB于F
则BD＝OD＝3，CE＝OE＝1，OC＝AC
∴△ODB，△OCE，△AOC均为等腰直角三角形
∴∠AOC＝∠AOB＝∠OAC＝45°
∵PM∥y轴，∴OM⊥PN，∠MNO＝∠AOB＝45°，∴OM＝MN＝m，OE＝EF＝1
①∵
∴当0＜m≤1时，不能满足条件
②当1＜m≤2时，设PN交AC于Q，则MQ＝MA＝2－m
由
，得
，解得
，符合题意
由
，得
，解得
，符合题意
③当2＜m＜3时，作AG⊥x轴，交OB于G，
则AG＝OA＝2，AD＝1
∴
∴当2＜m＜3时，不能满足条件
∴
或
“点睛”此题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元一次方程的解及三角形的面积，综合性较强，解答本题的难点在第三问，关键是根据题意进行分类求解，难度较大，一般出是试题的压轴题．
