Question

【题目】26．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，设AD=a，BC=b．
（1）求CD的长度（用a，b表示）；
（2）求EG的长度（用a，b表示）；
（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，

∴DA、BC为半圆O的切线，

又∵CD与以AB为直径的半圆相切于点E，

∴DE=DA=a，CE=CB=b，

∴CD=a+b

（2）解：∵EF⊥AB，

∴EG∥BC，

∴EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），

∴EG=

（3）解：EG与FG相等．理由如下：

∵EG∥BC，

∴ = ，即 = ①，

又∵GF∥AD，

∴ = ，即 = ②，

①+②得 + = + =1，

而EG= ，

∴ + =1，

∴FG= ，

∴EG=FG．

【解析】（1）由AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，根据切线的判定方法得到DA、BC为半圆O的切线，而CD与以AB为直径的半圆相切于点E，根据切线长定理得到DE=DA=a，CE=CB=b，即有CD=a+b；（2）易得EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理有EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），即可表示出EG= ；（3）由EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理 = ，即 = ，由GF∥AD得到 = ，即 = ，则 + = + =1，然后把EG= 代入计算即可得到FG= ，即可得到EG=FG．