Question

【题目】已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是（填“梯形”“矩形”或“菱形”）

Answer 1

【答案】矩形
【解析】解：四边形EFGH的形状是矩形，理由为： 根据题意画出图形，如图所示：
∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH为△ABD的中位线，FG为△BCD的中位线，
∴EH= BD，EH∥BD，FG= BD，FG∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又HG为△ACD的中位线，
∴HG∥AC，又HE∥BD，
∴四边形HMON为平行四边形，
又AC⊥BD，即∠AOD=90°，
∴四边形HMON为矩形，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
所以答案是：矩形．

【考点精析】掌握三角形中位线定理和矩形的判定方法是解答本题的根本，需要知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．